Технические дисциплины - ПППСМ

1. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТОВ

1.1. Понятие переключательной функции

Для построения (синтеза) и анализа схем ЭВМ широко используется алгебра логики (булева алгебра).

Основное понятие булевой алгебры – высказывание.

Под высказыванием понимается любое утверждение, в отношении которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Истинно – "1", ложно – "0".

Высказывания могут быть простыми или сложными. Высказывание, значение истинности которого не зависит от значений истинности других высказываний, называется простым, если зависит – то сложным.

При построении схем ЭВМ простые высказывания представляют собой входные переменные (или входные сигналы). Все простые высказывания будут обозначаться через аргументы .

Из простых высказываний могут быть построены сложные с помощью 3‑х операций:

– дизъюнкция,

– конъюнкция,

– инверсия.

Пример. .

Сложное высказывание называется переключательной (булевой) функцией (ПФ).

Функция  называется переключательной (булевой), если она принимает значения  также как и ее аргументы, и зависит от аргументов .

Так как и аргументы ПФ, и сама ПФ принимают значения , то понятие ПФ широко используется для анализа схем ЭВМ, так как в них используется двоичная арифметика.

При технической реализации входные сигналы логических схем (ЛС) или аргументы обозначаются через , а выходной сигнал =  обозначается через .

1.2. Логическая схема

Обозначение логической схемы показано на рис. 1.1.

 

Рис. 1.1. Условное обозначение логической схемы

Функционирование ЛС представляется в виде временной диаграммы, например, приведенной на рис. 1.2.

 

Рис. 1.2. Временные диаграммы

Описание ЛС в виде временных диаграмм очень неудобно. Неудобно и представление ПФ  в виде временных диаграмм. Поэтому вводятся специальные способы представления ПФ.

 

 

1.3. Способы представления ПФ

Существуют следующие способы представления ПФ:

  1. Табличный.
  2. Номером ПФ.
  3. Указанием номеров наборов, на которых ПФ равна единице.
  4. Указанием номеров наборов, на которых ПФ равна нулю.
  5. Представление ФП в Совершенной дизъюнктивной нормальной форме (Сов.ДНФ).
  6. Представление ФП в Совершенной конъюнктивной нормальной форме (Сов.КНФ).
  7. Графический.

1)    Табличный способ задания ПФ.

Данный способ является наиболее наглядным. ПФ представляется в виде таблицы истинности.

Таблица 1.1. Таблица истинности для ПФ (см. рис. 1.2).

№ набора

 

 

 

 

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

1

3

0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

1

0

1

0

6

1

1

0

1

7

1

1

1

0

 

 

 

 

Или:

 

0

0

0

0

1

1

1

1

 

0

0

1

1

0

0

1

1

 

0

1

0

1

0

1

0

1

 

0

0

1

1

0

0

1

0

Всего ПФ = 28 = 256.

Всего наборов 23 = 8.

Под номером набора понимается десятичный эквивалент двоичного числа, образуемый в результате принятия переменными  значений  ( – старший аргумент; 0, 0, …, 0 – нулевой набор; 1, 1, …, 1 – единичный набор).

Свойства ПФ n–аргументов.

1. Число наборов, на которых определена ПФ, равно 2n (если n = 3, то 2n = 8).

2. Число ПФ n–переменных равно , где .

Такое число объясняется тем, что каждой ПФ можно поставить –разрядных двоичных чисел.

ПФ называется неполностью определенной, если она определена не на всех наборах.

На неполностью определенных наборах ПФ принимает неопределенные значения, обозначаемые .

2)    Задание ПФ ее номером.

В верхнем индексе записывается число аргументов ПФ, а в нижнем – десятичный эквивалент двоичного числа, образованного переключательной функцией, заданной в таблице истинности:

.

Старший разряд этого числа определяется нулевым набором.

3)    Задание ПФ номерами наборов, на которых ПФ = 1.

Пример. .

Здесь 2, 3, 6 – номера наборов, на которых ПФ = 1.

4)    Задание ПФ номерами наборов, на которых ПФ = 0.

Пример. .

Остальные способы задания ПФ будут рассмотрены позже.

 

 

1.4. ПФ одной переменной

Число аргументов .

Число наборов = .

Число ПФ = .

Таблица 1.2. ПФ одной переменной.

 

0      1

Название ПФ

Обозначение

Графическое обозначение

 

0      0

Константа 0

0

 

 

0      1

Переменная

 

 

 

1      0

Инверсия

 

 

 

1      1

Константа 1

1

 

 

1.5. ПФ двух переменных

Число аргументов .

Число наборов = . Число ПФ = .

Таблица 1.3. ПФ двух переменных.

арг.

0

0

1

1

Название ПФ

Обозначение

арг.

0

1

0

1

 

0

0

0

0

Константа 0

0

 

1

1

1

1

Константа 1

1

 

0

0

1

1

Переменная

 

 

0

1

0

1

Переменная

 

 

1

1

0

0

Инверсия

 

 

1

0

1

0

Инверсия

 

 

0

1

1

1

Дизъюнкция  и

 

 

0

0

0

1

Конъюнкция  и

 

 

1

0

0

0

Инверсия дизъюнкции (Стрелка Пирса)

,

 

1

1

1

0

Инверсия конъюнкции (Штрих Шеффера)

,

 

0

1

1

0

Сложение по модулю 2

 

 

1

0

0

1

Функция логической равнозначности

 

 

0

0

1

0

Функция запрета по

 

 

0

1

0

0

Функция запрета по

 

 

1

0

1

1

Импликация от  к

 

 

1

1

0

1

Импликация от  к

 

Из ПФ 2‑х переменных при построении ЛС ЭВМ используются следующие (они группируются по так называемым функционально-полным системам или базисам ПФ).

Функционально-полная система (ФПС) – это такой набор простых ПФ, с помощью которых можно представить более сложную ПФ.

Чаще всего используются следующие базисы:

1. Булевый базис, который включает в себя 3 операции: .

а) Дизъюнкция .

Операция  реализуется с помощью логического элемента – дизъюнктора (его также называют схемой "ИЛИ", схемой сборки).

 

Рис. 1.3. Логическая схема "ИЛИ" для двух входов

Таблица 1.4. Таблица истинности для логической схемы "ИЛИ".

 

 

 

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

Рис. 1.4. Логическая схема "ИЛИ" для n входов

б) Конъюнкция .

Логический элемент, который реализует эту операцию, называется конъюнктором, схемой совпадения, или логической схемой "И".

 



 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить